lunes, 10 de octubre de 2011

LÓGICA INDUCTIVA Y PROBABILIDAD, Newton C.A. da Costa

Lógica Inductiva y Probabilidad, Newton C.A. da Costa. Fondo de Desarrollo Editorial de la Universidad de Lima y Fondo de Cultura Económica, Lima 2000. 83 pp, US$10 (aprox.).

La segunda edición fue impresa por Editora Hucitec y Editora da Universidadede Sao Paulo en 1993.

Resulta imprescindible mencionar algunos detalles bibliográficos de este prolífico matemático brasilero. Newton Carneiro Affonso da Costa, nación el 16 de setiembre de 1929 en Curitiba, Brasil. Es un reconocido matemático, lógico y filósofo. Doctor en matemática e ingeniero civil por la Universidad Federal de Paraná. Profesor titular de la academia de Ciencias del estado de Sao Paulo, miembro correspondiente de la Academia de Ciencias del Instituto de Chile y miembro honorario del Instituto de Filosofía del Perú. Asimismo, forma parte del Comité para el Desarrollo de la Lógica en América Latina de la Association for Symbolic Logic y del Institut Insternational de Philosophie de Paris.  Es reconocido internacionalmente por sus trabajos en la lógica paraconsistente y sus aplicaciones, y en otros campos como la filosofía, computación e inteligencia artificial. Debido a su larga carrera profesional, podría mencionar muchos otros aportes realizados por este extraordinario personaje; sin embargo, iré al centro del articulo: mis apreciaciones sobre el libro.

Uno de los problemas centrales de la lógica y de la epistemología  es el de la inducción, considerada por muchos un método no científico; sin tomar en cuenta que la matemática contemporánea tiene sus bases en conceptos y algoritmos desarrollados en la antigüedad gracias a procesos inductivos, de ensayo error. En todos los tiempos se han originado controversias sobre este tema, habiéndose propuesto toda suerte de soluciones que, según el autor, han resultado insatisfacotrias en última instancia.

En este libro se esboza una solución al problema de la inducción (también conocido como problema de "Hume"), señalando que una inferencia legítima de lo particular a lo general involucra elementos de probabilidad pragmática, métodos estadísticos, analogías y otros tipos de razonamiento no-deductivo.

En este texto se advierte, asimismo, que pese a que la lógica inductiva difiere de la deductiva, los métodos computacionales dejan vislumbrar que ambos procedimientos tienden a aproximarse; es más, podría decirse que sus existencias, en el desarrollo de la ciencia, se implican; es decir, la existencia de uno condiciona la existencia del otro.

La inducción es tanto parte de la ciencia como de la vida cotidiana; pues los creadores de las teorías físicas más importantes, como Newton, Maxwell o Einstein, no habrían logrado el desarrollo de esta ciencia empírica basados únicamente en inferencias válidas, hubo experimentos, leyes, hipótesis, etc. De la misma forma, en el día a día, cada vez que recurrimos a alguna lógica, esta parece ser clásica (leyes de identidad, no contradicción, tercio excluído, etc.); sin embargo, si una persona quisiese hacer solamente inferencias válidas en su vida cotidiana, probablemente no sobreviviría mucho tiempo. Todas las inferencias realmente importantes de la vida común constituyen paralogismos (inferencias falsas que se plantean sin voluntad de engaño, constituyen un error de razonamiento) . Si alguien infiere, después de algunas experiencias positivas que el cereal le hace bien o, si infiere que la bebida alcohólica le causa dolores de cabeza, no está ejerciendo un razonamiento lógicamente válido. Lo mismo pasa cuando se realizan razonamientos más sofisticados, como aquellos por analogía, o cuando se apuesta a los caballos. A pesar de ello, muchas de nuestras decisiones más elementales se las debemos a ese ensayo error de nuestro pasado, he allí lo que podría parecer una contradicción; de allí lo complejo del tema.

En el texto se hace un análisis abierto sobre este complejo tema, desde la lógica inductiva y deductiva, sus dificultades, la naturaleza de la razón, la probabilidad pragmática y sus principios básicos, hasta las leyes de las pre-álgebras de Popper (axiomas de Popper).

Confieso que es un libro que me atrapó desde sus primeras páginas, muy didácticas y sencillas, hasta la complejidad de las últimas. El único requisito para su lectura es el tener concimientos básicos de la lógica ortodoxa y su nomenclatura básica, y conocimientos sobre probabilidades, los adquiridos en los primeros 2 años de estudios universitarios. Después de ello, solo queda disfrutar de este maravilloso texto.




   

lunes, 11 de julio de 2011

EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT, Amir D. Aczel

El Último Teorema de Fermat, Amir D. Aczel. Fondo de Cultura Económica, México 2005 (Primera reimpresión en español). 175 pp, US$ 30 (aprox.).

El título original de este libro es Fermat's Last Theorem - Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem, publicado por Four Walls Eight Windows en 1996.

A lo largo de la historia de las matemáticas se ha escrito mucho a cerca de el famoso último teorema de Fermat, desde comentarios deleznables de matemáticos que dudaban del mismo, hasta su sorprendente demostración en agosto de 1993, por el matemático norteamericano Andrew Wiles.

Resulta conveniente hacer una breve reseña del autor del teorema para poder comprender mejor la importancia del mismo. Jean Pierre de Fermat fue un jurista francés del siglo XVII, aficionado a las matemáticas. El eminente historiador de las matemáticas E.T.Bell, de quien ya hice una breve reseña de su famosísimo libro Historia de las Matemáticas (ver http://matealdia.blogspot.com/2011/04/historia-de-las-matematicas-e-t-bell.html), escribió a principios del siglo XX que Fermat, a quien llamó "Príncipe de los Aficionados", había obtenido resultados más importantes que la mayoría de matemáticos "profesionales" de su época. Para Bell, Fermat fue el matemático más prolífico del siglo XVII, época en que se desarrolló el trabajo de muchas de las mentes matemáticas más brillantes de todos los tiempos (E.T. Bell, Men of Mathematics, Nueva York, Simon and Schuster, 1937, p. 56).

Fermat fue un amante totalmente cautivado por los números. Concibió varios teoremas sobre teoría de números, muchos de los cuales fueron desestimados, como su famoso intento por encontrar la fórmula general de correspondencia para determinar la sucesión de los números primos :
Conjeturó que todos los números naturales de la forma:

 F_{n} = 2^{2^n} + 1

con n natural, eran números primos. Leonard Euler probó, en 1732, que para n=5, se obtiene un número compuesto; posteriormente a la muerte de Fermat en 1665.

En 1637 Fermat escribió una nota en latín en el margen de uno de sus textos favoritos, el famoso libro Arithmetica del matemático griego Diofanto, junto al enunciado de un problema sobre la descomposición de un número cuadrado en dos números cuadrados (expresión conocida como el Teorema de Pitágoras): "Por otro lado es imposible descomponer un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia -excepto un cuadrado- en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una maravillosa prueba de ello, pero por desgracia es tan extensa que no cabe en el margen".

Esta misteriosa afirmación le quitó el sueño a muchas generaciones de matemáticos que intentaron dar con la "maravillosa prueba" que Fermat había asegurado tener en su poder.

No fue sino hasta agosto de 1993 en que Andrew Wiles presentó ante la élite matemática mundial su demostración del último teorema de Fermat en una conferencia en la universidad de Cambridge; sin embargo, revisados sus escritos, se encontró un error. Wiles tuvo que volver a revisar sus apuntes y, gracias a la ayuda de su amigo Richard Taylor, publicó en la revista profesional Annals of Mathematics, en mayo de 1995. el artículo definitivo; una maravillosa demostración de 200 páginas.

Este libro hace una fantástica revisión de todos los conocimientos a los que tuvo que recurrir Wiles para lograr su famosa demostración del teorema de Fermat; desde los anónimos babilonios y agrimensores egipcios, continuando con Pitágoras y Arquímedes, hasta el tener que demostrar las conjeturas de Taniyama y de Goro-Shimura.

Una pequeña narración hecha en un lenguaje simple y ameno, que captura al lector desde las primeras páginas. Debe quedar claro que el libro es un relato de los conocimientos a los que recurrió Wiles y se narra las vicisitudes que tuvo que pasar hasta lograr su demostración, no está escrita en él la demostración del teorema. Para comprenderla, cabe aclarar, que el lector debería tener muy profundos conocimentos de matemática superior y teoría de números. Este hecho hace aún más interesante el texto pues, para comprenderlo, basta ser aficondado a las matemáticas.

Del 20 de julio al 2 de agosto se realizará la 16 °Feria Internacional del Libro de Lima (ver http://www.filperu.com/), excepcional ocasión para adquirir este texto u otros afines. Hagamos que la lectura de textos de matemáticas sea una práctica común entre docentes, alumnos y aficionados; la investigación constante y la preocupación por los nuevos aportes y descubrimientos para un mayor desarrollo personal y profesional.

lunes, 25 de abril de 2011

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?, Richard Courant y Herbert Robbins

¿Qué son las Matemáticas?, Richard Courant y Herbert Robbins. Prefacio y avances recientes por Ian Stewart. Ilus. Guadalupe Villa. Fondo de Cultura Económica 2002 (Primera reimpresión en español, 2006). Colección: Sección de obras de Ciencia y Tecnología. 622 pp, US$ 40 (aprox.).
El título original de este libro es What is Mathematics? - An Elementary Approach to Ideas and Methods impreso en 1941 por Richard Courant.

Después de un breve alejamiento retomo el comentario de textos matemáticos. Me agrada sobremanera hacerlo justamente con este libro, pues es uno de los más agradables que hasta hoy he encontrado en la librería del Fondo de Cultura Económica (Miraflores, Lima - Perú). En este libro, los autores, hacen una revisión de las matemáticas desde los números naturales, la teoría de los números, el sistema de números de las matemáticas, el álgebra de los campos numéricos, la geometría proyectiva, la geometría axiomática no euclideana, algunas nociones de topología, las funciones y los límites, el cálculo, las series y productos infinitos, hasta una lista de avances recientes, agregados por Ian Stewart, con la revisión técnica de Rodrigo Cambray Núñez, como: una fórmula para los primos, la conjetura de Goldbach, el último teorema de Fermat, la hipótesis del contínuo, el teorema de los 4 colores, la dimensión de Hausdroff y los fractales, el problema de Steiner, etc.

El solo dar una simple y rápida revisión de los temas causa en el potencial lector, aficonado y conocedor de los fundamentos matemáticos, un gran interés en adquirirlo y leerlo, pues la diversidad de temas que trata y la manera en que son abordados por los autores, captura rápidamente al lector, hasta el punto de no querer dejarlo hasta culminar su lectura y, no solo eso, de retomarlo con cierta frecuencia, para recordar con entusiasmo los capítulos con los que más se identificó.

El libro, desde sus inicios, fue escrito para principiantes y especialistas, para estudiantes y profesores, para filósofos e ingenieros, para ser utilizado en aulas y bibliotecas. Esta obra clásica está destinada a lectores provenientes de distintas áreas del conocimiento, pero con buena formación matemática a nivel de bachillerato o primeros ciclos universitarios, y buena disposición para seguir a los autores en su aventura intelectual.

El complemento de Ian Stewart hace del texto una obra aún más interesante, pues lo actualiza -hecho necesario considerando que la matemática es una ciencia ciertamente muy ágil, no estática como la podrían considerar erróneamente personas alejadas a ella- con aportes tan valiosos como la invensión de análisis no estándar por Abraham Robinson, la demostración del teorema de los cuatro colores por Appel y Haken en 1976, la demostración del famosísimo último teorema de Fermat (del que escribiré con detalle en un futuro artículo) por Andrew Wiles en 1994, y más.

Las palabras que pueda escribir para recomendar este texto realmente sobran. Resumiré mi recomendación con las palabras que mencionó Albert Einstein sobre el libro: "...una brillante exposición de los conceptos y métodos fundamentales de todo el ámbito de las matemáticas...".

Hoy (25 de abril del 2011) a la 1pm se inicia la 2° Feria del Libro en Palacio de Gobierno (Lima, Perú) organizada por la Cámara Peruana del Libro, así que no hay excusa para no adquirirlo y leerlo. Aficionados a las matemáticas, a disfrutarlo!































lunes, 4 de abril de 2011

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS, E. T. Bell

Historia de las Matemáticas, E. T. Bell. Fondo de Cultura Económica, México 1999 (Cuarta reimpresión en español). 656 pp, US$ 30 (aprox.).

El título original de este libro es The Development of Mathematics, impreso en 1940 por Mc Graw-Hill Book Co., conocidísima editorial de textos universitarios y de investigación.

A pesar que esta edición ha sido revisada y corregida, la redacción ubica rápidamente al lector en un libro de la época de su primera edición en inglés, pues su lectura no es tan ágil como la de textos más recientes de historia de las matemáticas, como el libro de Richard Mankiewicz impreso por Princeton University Press en el 2000 -libro del que escribiré en una publicación futura-; sin embargo, eso lo convierte en un libro más interesante, pues exige del lector mayor concentración y enfoque preciso de interpretación de cada propuesta.

La preocupación principal del autor es la de presentar una estimativa correcta, procurando destacar lo que la realidad y el tiempo han situado y mantenido en primer plano de importancia, y establecer la graduación hacia ideas menores, aunque también valiosas. Esto y la reglada división en periodos y subperiodos, con la nota característica de cada uno, dan la sistematización didáctica que requiere un estudio tan vasto.

Si bien es cierto, algunos otros textos se pueden catalogar como más organizados en cuanto a la estructura de su redacción, no realizan análisis de contexto y paralelos históricos tan profundos y detallados como el libro de Eric Temple Bell; hecho que atribuyo no sólo a la época, sino también a su origen Escocés.

Lo recomiendo para toda persona que desee tener claro el orden histórico de los descubrimientos y personajes más importantes de la vasta historia de las matemáticas; sin embargo, un requisito indispensable es hacer algunas anotaciones para organizar mejor la cronología y no perderse en la abundancia de detalles -fechas y personajes, fundamentalmente- así como también recurrir a conocimientos básicos de historia universal, para lograr situarse con menor dificultad entre los hechos y personajes descritos en el texto. ¡A disfrutar de su lectura entonces!

lunes, 14 de marzo de 2011

EL CÓDIGO DE ARQUÍMEDES, Reviel Netz y William Noel



El Código de Arquímedes, Reviel Netz y William Noel. Ilus. "Arquímedes" de Giuserppe Nogari (Museo Pushkin de Moscú) y GettyImages / The Bridgeman Art Library. Emecé Editores S.A. 2007. 374 pp, US$ 15 (aprox.).                                                   
En esta ocasión me toca comentar sobre un texto interesante y algo distinto a los que he comentado en este blog anteriormente; pues, en líneas generales, podría decir que es histórico. Sin embargo, la historia que relata Reviel Netz, de forma bastante apasionada (exageradamente apasionada diría, en algunos pasajes), es acerca del descubirmiento, o redescubrimiento, de uno de los 3 códices de Arquímedes, el llamado códice C; el único que contiene su tratado Sobre los Cuerpos Flotantes - probablemente su tratado más famoso - en su idioma original, griego, y también el único que contenía una versión de otros dos escritos extraordinarios: El Método y el Stomachion.

En el libro se empieza describiendo cómo un manuscrito antiguo, ilegible, casi deshecho, con una serie de plegarias cristianas del siglo XIII escritas sobre el texto original, es subastado en las oficinas de Christie's en Park Avenue, Nueva York, el jueves 29 de Octubre de 1998; y, de un precio base de 80 mil dólares, como fue vendido por la astronómica suma de dos millones doscientos mil dólares. El comprador: un anónimo millonario estadounidense, quien se convierte en uno de los principales protagonistas de la historia del manuscrito, pues no sólo lo adquirió, sino también solventó la costosísima investigación del mismo.

De allí en adelante, en el libro se detalla el largo proceso de investigación del manuscrito - palimpsesto, para ser más preciso -, los cuidados que tuvo Abigail Quandt, encargada del Departamento de Conservación de Manuscritos y Libros Raros del Museo de Arte Walters de Baltimore, para con el palimpsesto; así como también los impresionantes detallles de la investigación empleando la fotografía como ciencia. Basta mencionar, que luego de los muchos intentos por ir descubriendo el manuscrito original, debajo del texto religioso escrito en la Edad Media, Keith Knox, director científico de la corporación Boeing de Maui, inventó un algoritmo a partir del cual se pudo revelar gran parte del texto.

Además, en el texto se relata parte de la vida de uno de los matemáticos más grandes de la historia: Arquímedes; su vida y sus inventos, que llegaron a revolucionar las matemáticas de su tiempo, y sirvieron como punto de partida para muchos otros científicos que vivieron muchos siglos después.

Si bien es cierto, el texto es un relato de la investigación del Códice C de Arquímedes, y no un análisis de los aportes del matemático; es muy interesante, pues Netz, relata con muchisma pasión cada parte del proceso de investigación, hecho que captura al lector, a tal punto de motivarlo a investigar sobre los aportes de Arquímedes con mucho más interés del que habitualmente podría tener.

Libro bien redactado, interesante, con imágenes del palimpsesto, de los investigadores y de parte de la investigación. Si bien es cierto el título original, The Archimedes Codex, ha sido intencionalmente cambiado con fines mercantiles - el título debió ser El Códice de Arquímedes -, dicho cambio no hace al libro menos interesante. Espero que lo adquieran y lo disfruten tanto como yo.

lunes, 7 de marzo de 2011

FRAGMENTOS DE UN DISCURSO MATEMÁTICO, Pablo Amster

Fragmentos de un Discurso Matemático, Pablo Amster. Ilus. Juan Balaguer. Fondo de Cultura Económica de Argentina S.A. 2007. 175 pp, US$ 30 (aprox.).

Me resulta muy grato poder escribir sobre este libro, pues me causó una enorme sorpresa el leerlo. En una visita habitual a la librería del Fondo de Cultura Económica de Comandante Espinar (a media cuadra del Óvalo Gutiérrez, en Miraflores), revisando textos, en el 2008, me topé con este libro. Al darle una ojeada, me pareció interesante por los temas que abordaba, vistos, al parecer, de forma ágil y fácil de entender. Pensé: "parece tener ejemplos idóneos para transmitir ideas matemáticas complejas en el aula". Así que decidí comprarlo. Al llegar a casa, revisándolo con más cuidado, observé que algunos de los temas tratados son más que muy interesantes: el conjunto de los números naturales, los infinitos, el problema del límite y el continuo, las secuencias azarosas, los logaritmos, etc.

Lo que hace el texto más atractivo es que Amster explora algunas de las relaciones que existen entre las matemáticas y una gran variedad de otros discursos, que forman la compleja trama del pensamiento humano, como la literatura, el psicoanálisis, la historia, la filosofía, la música y los juegos de azar. Acompañan a este recorrido una pluralidad insospechada de voces como Fibonacci, Poincaré, Russell, Leibniz, Borges, Eco, Poe, Kafka o Bach.
Resulta sorprendente, además, el estilo empleado por Amster en este texto, realmente fuera de de cualquier previsión posible. Gratificante para quienes amamos la literatura casi tanto como a las matemáticas. Al igual que Dios creó los Números, este libro tiene la peculiaridad de poderse leer, no como una secuencia ordenada de capítulos, sino tomar la información necesaria en el momento propicio, según el gusto o necesidad del lector. Sin embargo, es importante leer el texto completo para comprender la propuesta del autor, hecho sencillo pues el libro no tiene muchas páginas.

Es un libro que recomiendo, pero debo mencionar que sería ideal que, quien lo lea, esté prepaprado para enfrentar con buen ánimo la sorpresa de un estilo poco común para un texto que aborda temas matemáticos y la constante intervención de Borges entre sus líneas. En lo personal, me gustó mucho.

miércoles, 2 de marzo de 2011

CmapTools



Probando el CMAP TOOLS. Extraordinaria herramienta para crear organizadores gráficos. En este ejemplo coloco una propuesta para organizar una clase de matemáticas de Números Primos. Se puede distribuir la información de manera ordenada y, a partir de ello, dosificarla según el nivel de aprendizaje de cada grupo de alumnos; o, puede servir para la creación de un material de clase, a partir de las necesidades de los alumnos.

En la ramificación "Información Complementaria" del ejemplo, podrán observar que es posible que cada concepto o definición nos remita a una página web que complemente la información elemental del mismo. Esta herramienta de CmapTools, lo convierte en un organizador dinámico y, por ello, más interesante y completo. Lamentablemente, para subirlo al blog, sólo lo puedo pegar como una foto, en consecuencia los vínculos quedan desactivados. Quien pruebe el CmapTools, hay un truco para guardarlo en cualquier PC o USB sin que se desactiven los vínculos: hay que exportarlo como página web; se crean 3 archivos, uno jpg, otro html y uno gif; si no queremos perder las características añadidas a nuestro organizador, siempre debemos cargar con estos 3 archivos juntos. Es posible también agregar anotaciones, que se activan con un doble clic en el ícono respectivo, e información, que se activa al pasar el mouse sobre el título.

A pesar de las posible molestias para editar o guardar sin perder las características del organizador, sigue siendo una excelente herramienta para ordenar información.
Lo más interesante: el software es fácil de manejar y es gratuito. Lo recomiendo.

viernes, 25 de febrero de 2011

DIOS CREÓ LOS NÚMEROS, Stephen Hawking

Dios Creó los Números, Stephen Hawking (comentarios). Ilus. Bill Jones Crítica S.L., Barcelona 2010. 1030 pp, US$ 55 (aprox.)

Esta es mi primera crítica literaria y tengo la suerte de mencionar que por una muy feliz casualidad me encontré con este libro a fines del 2010 en una feria de libro realizada en el distrito de Miraflores en Lima, Perú. 

 En este libro, cuyo título original es "GOD CREATED THE INTEGERS: The Mathematical Breakthroughs that Changed History" 2005, el famoso físico inglés Stephen Hawking nos ofrece sus comentarios sobre 31 logros fundamentales del pensamiento matemático desde la geometría básica de Euclides hasta la teoría de los números transfinitos de Georg Cantor.

Una extraordinaria recopilación de extractos de textos de autores como: Euclides, Arquímedes, Diofanto, Descartes, Newton, Laplace, Gauss, Cauchy, Boole, Rienmann, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Lebesgue, Gödel y Turing.

Recomendado para personas que deseen profundizar sobre los temas específicos tratados en el libro, pues resulta enriquecedor poder tener en un sólo texto tantas recopilaciones de los libros originales de sus autores, traducidas al castellano. Sin embargo debo advertir que este libro está dirigido a lectores exigentes con conocimientos sólidos en matemáticas, pues su lectura lo demanda para poder obtener el mayor provecho, remitiendo al lector a los fundamentos matemáticos que le dan sustento a la matemática actual.

Por otro lado, como cada capítulo trata sobre un aporte matemático distinto, es factible leer un capítulo cualquiera sin que el anterior represente ser información necesaria para su lectura. Sin embargo, resulta casi imposible dedicar un tiempo breve diario para su lectura, como las obras literarias de temas sociales, históricos o de aventuras; pues, para comprender el pensamiento de cada autor desde su propuesta, es muy importante leer casi todo el capítulo, dedicado a la misma, en su integridad.
Mi comentario final: altamente recomendable para personas que se apasionan por la matemática y sus orígenes.





miércoles, 23 de febrero de 2011

Discurso de Steve Jobs, CEO de Apple Computer



Discurso que Steve Jobs, CEO de Apple Computer y de Pixar Animation Studios, dictó el 12 de Junio del 2005 en la ceremonia de graduación de la Universidad de Stanford.

Imposible emprender algo sin la motivación adecuada. Comparto este magistral discurso y ejemplo de vida.

Las matemáticas en el tiempo


 
Primera publicación. Probando la publicación de slides.