domingo, 25 de noviembre de 2012

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS - Felipe Zaldívar



Introducción a la Teoría de Números, Felipe Zaldívar. Sección de Obras de Ciencia y Tecnología. Fondo de Cultura Económica, México 2012. 1° edición. Impreso en México. 197 pp, $30 (aprox.).
Después de más tiempo del previsto, por motivos de estudio, logro hacer una nueva publicación. Debo manifestar que tenía muchísimas ganas de escribir sobre este libro tan pronto lo tuve en mis manos; pero, lamentablemente, entre Fuerzas de Porter, diagramas de Gant, índices de Gini, curvas de Lorenz, estudios de movimiento de Gilbreth y demás, estuve más que muy ocupado. Gracias a Dios, hoy tengo algo de tiempo para compartir con la comunidad matemática una muy buena publicación del Dr. Felipe Zaldívar, un renombrado docente de la Universidad Autónoma Metropolitana de México, doctorado en University of Western Ontario (Canadá).
Otra gran alegría es que el libro que les presento es uno de los 1500 ejemplares que conforman la primera edición. Como toda primera edición, es susceptible de presentar algunos pequeños errores, (como el que encontré en la página 21; en la demostración de el corolario 1.7, se coloca "bcs" en lugar de "bct"; hecho que no hace menos interesante la mencionada demostración); sin embargo, la propuesta del autor es realmente muy buena y enriquecedora.
Este libro lo encontré en la "17° Feria Internacional del Libro de Lima", uno de mis momentos y lugares favoritos en el año, pues suelen llegar algunos títulos de matemáticas muy interesantes. Definitivamente, la librería del Fondo de Cultura Económica (FCE), es una de las más activas en la materia, así que es la primera que suelo visitar para no sentir arrepentimiento por falta de presupuesto, al final.
Entrando en materia, este libro es una introducción elemental a la Teoría de Números, también llamada Aritmética Superior. Comienza con un análisis de la noción de divisibilidad e introduce propiedades elementales de las congruencias, las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofánticas de segundo y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a la aritmética de las curvas elípticas. Una novedad del libro es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin (algoritmos de criptografía asimétrica que se utilizan para realizar firmas digitales y, también para cifrar y descifrar).
Los capítulos son:
  1. El Teorema Fundamental de la Aritmética
  2. Congruencia y Criptografía
  3. Números Perfectos y Funciones Multiplicativas
  4. Raíces Primitivas y Logaritmos Discretos
  5. Residuos Cuadráticos
  6. Sumas de Potencias
  7. La Ecuación de Pell y Aproximaciones Diofánticas
  8. Números Congruentes y Curvas Elípticas
Cada capitulo incluye temas muy diversos, por citar algunos: los teoremas de Fermat y Euler, el algoritmo de Euclides, criptografía, eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n, primos de Mersenne y números perfectos, la función de Euler, la función de Möbius, raíces primitivas para primos, logaritmos discretos, la ley de reciprocidad cuadrática, el símbolo de Jacobi, ternas pitagóricas, el último teorema de Fermat, la operación de grupo, el teorema de Mordell, la función L de Hasse-Weil, etc.
Lo que resulta más interesante es el cómo está escrito el libro. No es posible leer el capítulo 3, sin haber leído los anteriores, pues todos los teoremas, corolarios y lemas, son demostrados en función a la propuesta inicial del autor; es decir, se genera un gran vínculo de compromiso con el lector. Definitivamente, el libro ha sido escrito por un investigador que además es docente, pues en ninguna parte se descuida al lector, todo lo que se propone al leerlo, ha sido sustentado (demostrado en la mayoría de casos) en las páginas anteriores; generando aún mayor interés (en palabras simples, logra en el lector un aprendizaje significativo). Cabe mencionar que para la lectura de este texto, es necesario tener conocimientos sólidos en los tópicos de la Aritmética Básica y, de preferencia, tener nociones sobre algunos de los temas tratados; pues en algunos capítulos, los temas son presentados de manera sucinta e inmediatamente se entra en matera: definiciones, conceptos y demostraciones.
Algo que me capturó, a pesar del poco tiempo con el que cuento para la lectura de investigación, es que el Dr. Saldívar define al Máximo Común Divisor (MCD) como una combinación lineal de dos enteros, distinta de cero (dentro del anillo de los número enteros, evidentemente), y a partir de allí construye todos la teoría posterior. Realmente, cautivador.
Si lo recomiendo, está demás mencionarlo: ampliamente. Más aún a aquellas personas que desean profundizar un poco más en la Teoría de Números. Este texto es uno de los pocos aportes didácticos actuales dedicados al tema en mención.
Muy pronto, espero, haré algunas publicaciones sobre los otros textos que conseguí en la mencionada feria. Si deciden conseguir el libro, espero que lo disfruten tanto como yo. Espero sus consultas y comentarios.


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