INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS - Felipe Saldívar



Introducción a la Teoría de Números, Felipe Saldívar. Sección de Obras de Ciencia y Tecnología. Fondo de Cultura Económica, México 2012. 1° edición. Impreso en México. 197 pp, $30 (aprox.).

Después de más tiempo del previsto, por motivos de estudio, logro hacer una nueva publicación. Debo manifestar que tenía muchísimas ganas de escribir sobre este libro tan pronto lo tuve en mis manos; pero, lamentablemente, entre Fuerzas de Porter, diagramas de Gant, índices de Gini, curvas de Lorenz, estudios de movimiento de Gilbreth y demás, estuve más que muy ocupado. Gracias a Dios, hoy tengo algo de tiempo para compartir con la comunidad matemática una muy buena publicación del Dr. Felipe Saldívar, un renombrado docente de la Universidad Autónoma Metropolitana de México, doctorado en University of Western Ontario (Canadá).

Otra gran alegría es que el libro que les presento es uno de los 1500 ejemplares que conforman la primera edición. Como toda primera edición, es susceptible de presentar algunos pequeños errores, (como el que encontré en la página 21; en la demostración de el corolario 1.7, se coloca "bcs" en lugar de "bct"; hecho que no hace menos interesante la mencionada demostración); sin embargo, la propuesta del autor es realmente muy buena y enriquecedora.

Este libro lo encontré en la "17° Feria Internacional del Libro de Lima", uno de mis momentos y lugares favoritos en el año, pues suelen llegar algunos títulos de matemáticas muy interesantes. Definitivamente, la librería del Fondo de Cultura Económica (FCE), es una de las más activas en la materia, así que es la primera que suelo visitar para no sentir arrepentimiento por falta de presupuesto, al final.

Entrando en materia, este libro es una introducción elemental a la Teoría de Números, también llamada Aritmética Superior. Comienza con un análisis de la noción de divisibilidad e introduce propiedades elementales de las congruencias, las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofánticas de segundo y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a la aritmética de las curvas elípticas. Una novedad del libro es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin (algoritmos de criptografía asimétrica que se utilizan para realizar firmas digitales y, también para cifrar y descifrar).

Los capítulos son:

1. El Teorema Fundamental de la Aritmética
2. Congruencia y Criptografía
3. Números Perfectos y Funciones Multiplicativas
4. Raíces Primitivas y Logaritmos Discretos
5. Residuos Cuadráticos
6. Sumas de Potencias
7. La Ecuación de Pell y Aproximaciones Diofánticas
8. Números Congruentes y Curvas Elípticas

Cada capitulo incluye temas muy diversos, por citar algunos: los teoremas de Fermat y Euler, el algoritmo de Euclides, criptografía, eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n, primos de Mersenne y números perfectos, la función de Euler, la función de Möbius, raíces primitivas para primos, logaritmos discretos, la ley de reciprocidad cuadrática, el símbolo de Jacobi, ternas pitagóricas, el último teorema de Fermat, la operación de grupo, el teorema de Mordell, la función L de Hasse-Weil, etc.

Lo que resulta más interesante es el cómo está escrito el libro. No es posible leer el capítulo 3, sin haber leído los anteriores, pues todos los teoremas, corolarios y lemas, son demostrados en función a la propuesta inicial del autor; es decir, se genera un gran vínculo de compromiso con el lector. Definitivamente, el libro ha sido escrito por un investigador que además es docente, pues en ninguna parte se descuida al lector, todo lo que se propone al leerlo, ha sido sustentado (demostrado en la mayoría de casos) en las páginas anteriores; generando aún mayor interés (en palabras simples, logra en el lector un aprendizaje significativo). Cabe mencionar que para la lectura de este texto, es necesario tener conocimientos sólidos en los tópicos de la Aritmética Básica y, de preferencia, tener nociones sobre algunos de los temas tratados; pues en algunos capítulos, los temas son presentados de manera sucinta e inmediatamente se entra en matera: definiciones, conceptos y demostraciones.

Algo que me capturó, a pesar del poco tiempo con el que cuento para la lectura de investigación, es que el Dr. Saldívar define al Máximo Común Divisor (MCD) como una combinación lineal de dos enteros, distinta de cero (dentro del anillo de los número enteros, evidentemente), y a partir de allí construye todos la teoría posterior. Realmente, cautivador.

Si lo recomiendo, está demás mencionarlo: ampliamente. Más aún a aquellas personas que desean profundizar un poco más en la Teoría de Números. Este texto es uno de los pocos aportes didácticos actuales dedicados al tema en mención.

Muy pronto, espero, haré algunas publicaciones sobre los otros textos que conseguí en la mencionada feria. Si deciden conseguir el libro, espero que lo disfruten tanto como yo. Espero sus consultas y comentarios.



"TEORÍA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES" - Seymour Lipschutz

Teoría de Conjuntos y Temas Afines, Seymour Lipschutz. Serie de compendios SHAUM. McGRAW-HILL, México 1969. 5° impresión. Impreso en Colombia. 233 pp, US$5 (aprox.).

Hace varios años tuve la sorpresa de encontrar este libro en una feria de venta de libros usados. El título me llamó mucho la atención pues hace alusión a uno de los temas más importantes en el desarrollo de la matemática, que permitió el paso de la matemática discreta a la idea de continuidad, necesaria para dar fundamento a la misma matemática y a muchas otras ciencias, hoy. Le solicité al vendedor que me prestara el libro para darle una ojeada; él me lo pasó, como quien pasa un balón de fútbol, literalmente, lo arrojó. Cuando lo abrí y empecé a revisar su contenido, traté de no mostrar en el rostro el asombro que me causaba pasar cada una de sus páginas -no quería que el vendedor "sobre valorara" el artículo por ver en mi mucho interés, típico en las ventas de libros usados-, estaba extasiado. No podía creer que un libro tan maltratado y barato, pudiera contener lo que estaba leyendo.

Para ser más preciso: el desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, los conjuntos numéricos, conjuntos acotados y no acotados, funciones, conjunto producto, relaciones  de equivalencia, álgebra de conjuntos, conjuntos indizados, particiones, operaciones numéricas, números cardinales, el teorema de Cantor sobre cardinalidad, el teorema de Schöder-Bernstein, la hipótesis del continuo, conjuntos parcial y totalmente ordenados, conjuntos isomorfos, tipos ordinales, conjuntos bien ordenados, números ordinales, el axioma de elección, el lema de Zorn, el teorema de la buena ordenación, las paradojas de la teoría de conjuntos (Cantor, Russell, Burali-Forti), álgebra proposicional, cuantificadores, funciones lógicas que contienen más de una variable, álgebra Booleana, diseño de circuitos y conmutadores lógicos, y razonamiento lógico (argumentos y proposiciones). Podría seguir enunciando más acerca de su contenido; sin embargo, solo con lo descrito comprenderán el grado de sorpresa que me llevé.

Una vez en mi poder, al revisar con más detenimiento su contenido, pude darme cuenta que los conceptos y definiciones están muy bien enunciados, con el rigor necesario para los propósitos formales, pero sin abusar de notación simbólica formal.  Esto hace que sea más fácil de leer. Sin embargo, en la época que fue impreso, los libros de investigación matemática exigían del lector sólidos conocimientos que sirvieran de base. Este hecho hace aún más relevante la necesidad de tener este texto, pues en él, Seymour Lipschutz, Ph.D. y profesor asociado de matemáticas de la Universidad de Temple, resume de manera magistral los contenidos densos de libros como: The Ensembles de Bourbaki (1958), Naive Set Theory de Halmos (1960), Set Theory de Hausdorff (1957), Theory of Sets de Kamke (1950), Introducction to Set Theory and Topology de Kuratowski (1962) y Theory of Functions of Real Variable de Natanson (1955) -algunos de ellos los comentaré en publicaciones posteriores, y estoy casi seguro que el primero será el famosísimo libro de Halmos-.

En resumen, en este texto podemos encontrar grandes aportes de diferentes autores explicados de manera suscinta y muy comprensible, además de 530 problemas resueltos, como se puede ver en la foto  de la portada, la mayoría de ellos de nivel elemental, lo que aporta aún más a su comprensión. Seguramente el orden en que han sido coolocados los capítulos podría parecer poco adecuado; por citar un ejemplo: El capítulo 4 es Funciones y el capítulo 6 es Relaciones; o también, el capítulo 2 es Operaciones Fundamentales con Conjuntos y el capítulo 14 es Álgebra de Proposiciones. Sin embargo, puedo aseverar con absoluta seguridad que ese "desorden" no impide la perfecta comprensión de los contenidos. Ahora, si bien es cierto, no resulta necesario tener conocimientos previos tan profundos como para leer a Halmos o a Kamke, si es necesario haber leído anteriormente sobre cada tema y tener al menos un conocimiento elemental de los mismos.

Resulta indudable que recomiendo este libro ampliamente a todo docente o investigador que desee iniciar la profundización de sus conocimientos sobre conjuntos, así como también casi todos los libros de la serie de compendios SHAUM. (Si desean el libro, denle "clic" al título de esta publicación y les enviará a un enlace de skydrive del que podrán descargarlo completo). Espero que lo disfruten.



LÓGICA INDUCTIVA Y PROBABILIDAD, Newton C.A. da Costa

Lógica Inductiva y Probabilidad, Newton C.A. da Costa. Fondo de Desarrollo Editorial de la Universidad de Lima y Fondo de Cultura Económica, Lima 2000. 83 pp, US$10 (aprox.).

La segunda edición fue impresa por Editora Hucitec y Editora da Universidadede Sao Paulo en 1993.

Resulta imprescindible mencionar algunos detalles bibliográficos de este prolífico matemático brasilero. Newton Carneiro Affonso da Costa, nación el 16 de setiembre de 1929 en Curitiba, Brasil. Es un reconocido matemático, lógico y filósofo. Doctor en matemática e ingeniero civil por la Universidad Federal de Paraná. Profesor titular de la academia de Ciencias del estado de Sao Paulo, miembro correspondiente de la Academia de Ciencias del Instituto de Chile y miembro honorario del Instituto de Filosofía del Perú. Asimismo, forma parte del Comité para el Desarrollo de la Lógica en América Latina de la Association for Symbolic Logic y del Institut Insternational de Philosophie de Paris.  Es reconocido internacionalmente por sus trabajos en la lógica paraconsistente y sus aplicaciones, y en otros campos como la filosofía, computación e inteligencia artificial. Debido a su larga carrera profesional, podría mencionar muchos otros aportes realizados por este extraordinario personaje; sin embargo, iré al centro del articulo: mis apreciaciones sobre el libro.

Uno de los problemas centrales de la lógica y de la epistemología  es el de la inducción, considerada por muchos un método no científico; sin tomar en cuenta que la matemática contemporánea tiene sus bases en conceptos y algoritmos desarrollados en la antigüedad gracias a procesos inductivos, de ensayo error. En todos los tiempos se han originado controversias sobre este tema, habiéndose propuesto toda suerte de soluciones que, según el autor, han resultado insatisfacotrias en última instancia.

En este libro se esboza una solución al problema de la inducción (también conocido como problema de "Hume"), señalando que una inferencia legítima de lo particular a lo general involucra elementos de probabilidad pragmática, métodos estadísticos, analogías y otros tipos de razonamiento no-deductivo.

En este texto se advierte, asimismo, que pese a que la lógica inductiva difiere de la deductiva, los métodos computacionales dejan vislumbrar que ambos procedimientos tienden a aproximarse; es más, podría decirse que sus existencias, en el desarrollo de la ciencia, se implican; es decir, la existencia de uno condiciona la existencia del otro.

La inducción es tanto parte de la ciencia como de la vida cotidiana; pues los creadores de las teorías físicas más importantes, como Newton, Maxwell o Einstein, no habrían logrado el desarrollo de esta ciencia empírica basados únicamente en inferencias válidas, hubo experimentos, leyes, hipótesis, etc. De la misma forma, en el día a día, cada vez que recurrimos a alguna lógica, esta parece ser clásica (leyes de identidad, no contradicción, tercio excluído, etc.); sin embargo, si una persona quisiese hacer solamente inferencias válidas en su vida cotidiana, probablemente no sobreviviría mucho tiempo. Todas las inferencias realmente importantes de la vida común constituyen paralogismos (inferencias falsas que se plantean sin voluntad de engaño, constituyen un error de razonamiento) . Si alguien infiere, después de algunas experiencias positivas que el cereal le hace bien o, si infiere que la bebida alcohólica le causa dolores de cabeza, no está ejerciendo un razonamiento lógicamente válido. Lo mismo pasa cuando se realizan razonamientos más sofisticados, como aquellos por analogía, o cuando se apuesta a los caballos. A pesar de ello, muchas de nuestras decisiones más elementales se las debemos a ese ensayo error de nuestro pasado, he allí lo que podría parecer una contradicción; de allí lo complejo del tema.

En el texto se hace un análisis abierto sobre este complejo tema, desde la lógica inductiva y deductiva, sus dificultades, la naturaleza de la razón, la probabilidad pragmática y sus principios básicos, hasta las leyes de las pre-álgebras de Popper (axiomas de Popper).

Confieso que es un libro que me atrapó desde sus primeras páginas, muy didácticas y sencillas, hasta la complejidad de las últimas. El único requisito para su lectura es el tener concimientos básicos de la lógica ortodoxa y su nomenclatura básica, y conocimientos sobre probabilidades, los adquiridos en los primeros 2 años de estudios universitarios. Después de ello, solo queda disfrutar de este maravilloso texto.

   

EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT, Amir D. Aczel

El Último Teorema de Fermat, Amir D. Aczel. Fondo de Cultura Económica, México 2005 (Primera reimpresión en español). 175 pp, US$ 30 (aprox.).

El título original de este libro es Fermat's Last Theorem - Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem, publicado por Four Walls Eight Windows en 1996.

A lo largo de la historia de las matemáticas se ha escrito mucho a cerca de el famoso último teorema de Fermat, desde comentarios deleznables de matemáticos que dudaban del mismo, hasta su sorprendente demostración en agosto de 1993, por el matemático norteamericano Andrew Wiles.

Resulta conveniente hacer una breve reseña del autor del teorema para poder comprender mejor la importancia del mismo. Jean Pierre de Fermat fue un jurista francés del siglo XVII, aficionado a las matemáticas. El eminente historiador de las matemáticas E.T.Bell, de quien ya hice una breve reseña de su famosísimo libro Historia de las Matemáticas (ver http://matealdia.blogspot.com/2011/04/historia-de-las-matematicas-e-t-bell.html), escribió a principios del siglo XX que Fermat, a quien llamó "Príncipe de los Aficionados", había obtenido resultados más importantes que la mayoría de matemáticos "profesionales" de su época. Para Bell, Fermat fue el matemático más prolífico del siglo XVII, época en que se desarrolló el trabajo de muchas de las mentes matemáticas más brillantes de todos los tiempos (E.T. Bell, Men of Mathematics, Nueva York, Simon and Schuster, 1937, p. 56).

Fermat fue un amante totalmente cautivado por los números. Concibió varios teoremas sobre teoría de números, muchos de los cuales fueron desestimados, como su famoso intento por encontrar la fórmula general de correspondencia para determinar la sucesión de los números primos :

Conjeturó que todos los números naturales de la forma:

con n natural, eran números primos. Leonard Euler probó, en 1732, que para n=5, se obtiene un número compuesto; posteriormente a la muerte de Fermat en 1665.

En 1637 Fermat escribió una nota en latín en el margen de uno de sus textos favoritos, el famoso libro Arithmetica del matemático griego Diofanto, junto al enunciado de un problema sobre la descomposición de un número cuadrado en dos números cuadrados (expresión conocida como el Teorema de Pitágoras): "Por otro lado es imposible descomponer un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia -excepto un cuadrado- en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una maravillosa prueba de ello, pero por desgracia es tan extensa que no cabe en el margen".

Esta misteriosa afirmación le quitó el sueño a muchas generaciones de matemáticos que intentaron dar con la "maravillosa prueba" que Fermat había asegurado tener en su poder.

No fue sino hasta agosto de 1993 en que Andrew Wiles presentó ante la élite matemática mundial su demostración del último teorema de Fermat en una conferencia en la universidad de Cambridge; sin embargo, revisados sus escritos, se encontró un error. Wiles tuvo que volver a revisar sus apuntes y, gracias a la ayuda de su amigo Richard Taylor, publicó en la revista profesional Annals of Mathematics, en mayo de 1995. el artículo definitivo; una maravillosa demostración de 200 páginas.

Este libro hace una fantástica revisión de todos los conocimientos a los que tuvo que recurrir Wiles para lograr su famosa demostración del teorema de Fermat; desde los anónimos babilonios y agrimensores egipcios, continuando con Pitágoras y Arquímedes, hasta el tener que demostrar las conjeturas de Taniyama y de Goro-Shimura.

Una pequeña narración hecha en un lenguaje simple y ameno, que captura al lector desde las primeras páginas. Debe quedar claro que el libro es un relato de los conocimientos a los que recurrió Wiles y se narra las vicisitudes que tuvo que pasar hasta lograr su demostración, no está escrita en él la demostración del teorema. Para comprenderla, cabe aclarar, que el lector debería tener muy profundos conocimentos de matemática superior y teoría de números. Este hecho hace aún más interesante el texto pues, para comprenderlo, basta ser aficondado a las matemáticas.

Del 20 de julio al 2 de agosto se realizará la 16 °Feria Internacional del Libro de Lima (ver http://www.filperu.com/), excepcional ocasión para adquirir este texto u otros afines. Hagamos que la lectura de textos de matemáticas sea una práctica común entre docentes, alumnos y aficionados; la investigación constante y la preocupación por los nuevos aportes y descubrimientos para un mayor desarrollo personal y profesional.

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?, Richard Courant y Herbert Robbins

¿Qué son las Matemáticas?, Richard Courant y Herbert Robbins. Prefacio y avances recientes por Ian Stewart. Ilus. Guadalupe Villa. Fondo de Cultura Económica 2002 (Primera reimpresión en español, 2006). Colección: Sección de obras de Ciencia y Tecnología. 622 pp, US$ 40 (aprox.).
El título original de este libro es What is Mathematics? - An Elementary Approach to Ideas and Methods impreso en 1941 por Richard Courant.

Después de un breve alejamiento retomo el comentario de textos matemáticos. Me agrada sobremanera hacerlo justamente con este libro, pues es uno de los más agradables que hasta hoy he encontrado en la librería del Fondo de Cultura Económica (Miraflores, Lima - Perú). En este libro, los autores, hacen una revisión de las matemáticas desde los números naturales, la teoría de los números, el sistema de números de las matemáticas, el álgebra de los campos numéricos, la geometría proyectiva, la geometría axiomática no euclideana, algunas nociones de topología, las funciones y los límites, el cálculo, las series y productos infinitos, hasta una lista de avances recientes, agregados por Ian Stewart, con la revisión técnica de Rodrigo Cambray Núñez, como: una fórmula para los primos, la conjetura de Goldbach, el último teorema de Fermat, la hipótesis del contínuo, el teorema de los 4 colores, la dimensión de Hausdroff y los fractales, el problema de Steiner, etc.

El solo dar una simple y rápida revisión de los temas causa en el potencial lector, aficonado y conocedor de los fundamentos matemáticos, un gran interés en adquirirlo y leerlo, pues la diversidad de temas que trata y la manera en que son abordados por los autores, captura rápidamente al lector, hasta el punto de no querer dejarlo hasta culminar su lectura y, no solo eso, de retomarlo con cierta frecuencia, para recordar con entusiasmo los capítulos con los que más se identificó.

El libro, desde sus inicios, fue escrito para principiantes y especialistas, para estudiantes y profesores, para filósofos e ingenieros, para ser utilizado en aulas y bibliotecas. Esta obra clásica está destinada a lectores provenientes de distintas áreas del conocimiento, pero con buena formación matemática a nivel de bachillerato o primeros ciclos universitarios, y buena disposición para seguir a los autores en su aventura intelectual.

El complemento de Ian Stewart hace del texto una obra aún más interesante, pues lo actualiza -hecho necesario considerando que la matemática es una ciencia ciertamente muy ágil, no estática como la podrían considerar erróneamente personas alejadas a ella- con aportes tan valiosos como la invensión de análisis no estándar por Abraham Robinson, la demostración del teorema de los cuatro colores por Appel y Haken en 1976, la demostración del famosísimo último teorema de Fermat (del que escribiré con detalle en un futuro artículo) por Andrew Wiles en 1994, y más.

Las palabras que pueda escribir para recomendar este texto realmente sobran. Resumiré mi recomendación con las palabras que mencionó Albert Einstein sobre el libro: "...una brillante exposición de los conceptos y métodos fundamentales de todo el ámbito de las matemáticas...".

Hoy (25 de abril del 2011) a la 1pm se inicia la 2° Feria del Libro en Palacio de Gobierno (Lima, Perú) organizada por la Cámara Peruana del Libro, así que no hay excusa para no adquirirlo y leerlo. Aficionados a las matemáticas, a disfrutarlo!