domingo, 25 de noviembre de 2012

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS - Felipe Zaldívar



Introducción a la Teoría de Números, Felipe Zaldívar. Sección de Obras de Ciencia y Tecnología. Fondo de Cultura Económica, México 2012. 1° edición. Impreso en México. 197 pp, $30 (aprox.).
Después de más tiempo del previsto, por motivos de estudio, logro hacer una nueva publicación. Debo manifestar que tenía muchísimas ganas de escribir sobre este libro tan pronto lo tuve en mis manos; pero, lamentablemente, entre Fuerzas de Porter, diagramas de Gant, índices de Gini, curvas de Lorenz, estudios de movimiento de Gilbreth y demás, estuve más que muy ocupado. Gracias a Dios, hoy tengo algo de tiempo para compartir con la comunidad matemática una muy buena publicación del Dr. Felipe Zaldívar, un renombrado docente de la Universidad Autónoma Metropolitana de México, doctorado en University of Western Ontario (Canadá).
Otra gran alegría es que el libro que les presento es uno de los 1500 ejemplares que conforman la primera edición. Como toda primera edición, es susceptible de presentar algunos pequeños errores, (como el que encontré en la página 21; en la demostración de el corolario 1.7, se coloca "bcs" en lugar de "bct"; hecho que no hace menos interesante la mencionada demostración); sin embargo, la propuesta del autor es realmente muy buena y enriquecedora.
Este libro lo encontré en la "17° Feria Internacional del Libro de Lima", uno de mis momentos y lugares favoritos en el año, pues suelen llegar algunos títulos de matemáticas muy interesantes. Definitivamente, la librería del Fondo de Cultura Económica (FCE), es una de las más activas en la materia, así que es la primera que suelo visitar para no sentir arrepentimiento por falta de presupuesto, al final.
Entrando en materia, este libro es una introducción elemental a la Teoría de Números, también llamada Aritmética Superior. Comienza con un análisis de la noción de divisibilidad e introduce propiedades elementales de las congruencias, las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofánticas de segundo y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a la aritmética de las curvas elípticas. Una novedad del libro es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin (algoritmos de criptografía asimétrica que se utilizan para realizar firmas digitales y, también para cifrar y descifrar).
Los capítulos son:
  1. El Teorema Fundamental de la Aritmética
  2. Congruencia y Criptografía
  3. Números Perfectos y Funciones Multiplicativas
  4. Raíces Primitivas y Logaritmos Discretos
  5. Residuos Cuadráticos
  6. Sumas de Potencias
  7. La Ecuación de Pell y Aproximaciones Diofánticas
  8. Números Congruentes y Curvas Elípticas
Cada capitulo incluye temas muy diversos, por citar algunos: los teoremas de Fermat y Euler, el algoritmo de Euclides, criptografía, eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n, primos de Mersenne y números perfectos, la función de Euler, la función de Möbius, raíces primitivas para primos, logaritmos discretos, la ley de reciprocidad cuadrática, el símbolo de Jacobi, ternas pitagóricas, el último teorema de Fermat, la operación de grupo, el teorema de Mordell, la función L de Hasse-Weil, etc.
Lo que resulta más interesante es el cómo está escrito el libro. No es posible leer el capítulo 3, sin haber leído los anteriores, pues todos los teoremas, corolarios y lemas, son demostrados en función a la propuesta inicial del autor; es decir, se genera un gran vínculo de compromiso con el lector. Definitivamente, el libro ha sido escrito por un investigador que además es docente, pues en ninguna parte se descuida al lector, todo lo que se propone al leerlo, ha sido sustentado (demostrado en la mayoría de casos) en las páginas anteriores; generando aún mayor interés (en palabras simples, logra en el lector un aprendizaje significativo). Cabe mencionar que para la lectura de este texto, es necesario tener conocimientos sólidos en los tópicos de la Aritmética Básica y, de preferencia, tener nociones sobre algunos de los temas tratados; pues en algunos capítulos, los temas son presentados de manera sucinta e inmediatamente se entra en matera: definiciones, conceptos y demostraciones.
Algo que me capturó, a pesar del poco tiempo con el que cuento para la lectura de investigación, es que el Dr. Saldívar define al Máximo Común Divisor (MCD) como una combinación lineal de dos enteros, distinta de cero (dentro del anillo de los número enteros, evidentemente), y a partir de allí construye todos la teoría posterior. Realmente, cautivador.
Si lo recomiendo, está demás mencionarlo: ampliamente. Más aún a aquellas personas que desean profundizar un poco más en la Teoría de Números. Este texto es uno de los pocos aportes didácticos actuales dedicados al tema en mención.
Muy pronto, espero, haré algunas publicaciones sobre los otros textos que conseguí en la mencionada feria. Si deciden conseguir el libro, espero que lo disfruten tanto como yo. Espero sus consultas y comentarios.



lunes, 16 de abril de 2012

"TEORÍA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES" - Seymour Lipschutz

Teoría de Conjuntos y Temas Afines, Seymour Lipschutz. Serie de compendios SHAUM. McGRAW-HILL, México 1969. 5° impresión. Impreso en Colombia. 233 pp, US$5 (aprox.).

Hace varios años tuve la sorpresa de encontrar este libro en una feria de venta de libros usados. El título me llamó mucho la atención pues hace alusión a uno de los temas más importantes en el desarrollo de la matemática, que permitió el paso de la matemática discreta a la idea de continuidad, necesaria para dar fundamento a la misma matemática y a muchas otras ciencias, hoy. Le solicité al vendedor que me prestara el libro para darle una ojeada; él me lo pasó, como quien pasa un balón de fútbol, literalmente, lo arrojó. Cuando lo abrí y empecé a revisar su contenido, traté de no mostrar en el rostro el asombro que me causaba pasar cada una de sus páginas -no quería que el vendedor "sobre valorara" el artículo por ver en mi mucho interés, típico en las ventas de libros usados-, estaba extasiado. No podía creer que un libro tan maltratado y barato, pudiera contener lo que estaba leyendo.

Para ser más preciso: el desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, los conjuntos numéricos, conjuntos acotados y no acotados, funciones, conjunto producto, relaciones  de equivalencia, álgebra de conjuntos, conjuntos indizados, particiones, operaciones numéricas, números cardinales, el teorema de Cantor sobre cardinalidad, el teorema de Schöder-Bernstein, la hipótesis del continuo, conjuntos parcial y totalmente ordenados, conjuntos isomorfos, tipos ordinales, conjuntos bien ordenados, números ordinales, el axioma de elección, el lema de Zorn, el teorema de la buena ordenación, las paradojas de la teoría de conjuntos (Cantor, Russell, Burali-Forti), álgebra proposicional, cuantificadores, funciones lógicas que contienen más de una variable, álgebra Booleana, diseño de circuitos y conmutadores lógicos, y razonamiento lógico (argumentos y proposiciones). Podría seguir enunciando más acerca de su contenido; sin embargo, solo con lo descrito comprenderán el grado de sorpresa que me llevé.

Una vez en mi poder, al revisar con más detenimiento su contenido, pude darme cuenta que los conceptos y definiciones están muy bien enunciados, con el rigor necesario para los propósitos formales, pero sin abusar de notación simbólica formal.  Esto hace que sea más fácil de leer. Sin embargo, en la época que fue impreso, los libros de investigación matemática exigían del lector sólidos conocimientos que sirvieran de base. Este hecho hace aún más relevante la necesidad de tener este texto, pues en él, Seymour Lipschutz, Ph.D. y profesor asociado de matemáticas de la Universidad de Temple, resume de manera magistral los contenidos densos de libros como: The Ensembles de Bourbaki (1958), Naive Set Theory de Halmos (1960), Set Theory de Hausdorff (1957), Theory of Sets de Kamke (1950), Introducction to Set Theory and Topology de Kuratowski (1962) y Theory of Functions of Real Variable de Natanson (1955) -algunos de ellos los comentaré en publicaciones posteriores, y estoy casi seguro que el primero será el famosísimo libro de Halmos-.

En resumen, en este texto podemos encontrar grandes aportes de diferentes autores explicados de manera suscinta y muy comprensible, además de 530 problemas resueltos, como se puede ver en la foto  de la portada, la mayoría de ellos de nivel elemental, lo que aporta aún más a su comprensión. Seguramente el orden en que han sido coolocados los capítulos podría parecer poco adecuado; por citar un ejemplo: El capítulo 4 es Funciones y el capítulo 6 es Relaciones; o también, el capítulo 2 es Operaciones Fundamentales con Conjuntos y el capítulo 14 es Álgebra de Proposiciones. Sin embargo, puedo aseverar con absoluta seguridad que ese "desorden" no impide la perfecta comprensión de los contenidos. Ahora, si bien es cierto, no resulta necesario tener conocimientos previos tan profundos como para leer a Halmos o a Kamke, si es necesario haber leído anteriormente sobre cada tema y tener al menos un conocimiento elemental de los mismos.

Resulta indudable que recomiendo este libro ampliamente a todo docente o investigador que desee iniciar la profundización de sus conocimientos sobre conjuntos, así como también casi todos los libros de la serie de compendios SHAUM. (Si desean el libro, denle "clic" al título de esta publicación y les enviará a un enlace de skydrive del que podrán descargarlo completo). Espero que lo disfruten.